Quantisierungsfehler

Quantisierungsfehler

Quantisierungsfehler bzw. Quantisierungsabweichungen entstehen bei der Analog-Digital-Umsetzung von Signalen. Während analoge Signale dem Wertebereich der reellen Zahlen genügen, werden in der digitalen Darstellung bei linearer Quantisierungskennlinie ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Schrittweite verwendet.

Grenzfälle einer digitalen Darstellung anstelle einer analogen.
Der vertikale Abstand einer Stufe von der geneigten Geraden ist die Quantisierungsabweichung

Daher ist mit der Umsetzung eine Rundung verbunden. Die entstehende Abweichung ist die Quantisierungsabweichung. Gemäß Definition der Messabweichung ist sie die Differenz aus der gestuften Näherung und dem (unverfälschten) Originalsignal. Die statistischen und spektralen Eigenschaften der Quantisierungsabweichung hängen auch vom Originalsignal ab, werden aber zur Vereinfachung meistens als weißes Rauschen angenommen.

Beispiel: Ein 10-Bit-Umsetzer mit linearer Quantisierungskennlinie, der in 210 = 1024 Stufen auflöst, misst eine elektrische Spannung U bei einem Messbereich von 10 V mit einer Schrittweite von U_q =\frac{10\,\mathrm V}{2^{10}} \approx 9{,}8 \,\mathrm{mV} . Dieser horizontalen Stufe entspricht vertikal ein Digit (Ziffernschritt auf der niederwertigsten Stelle) oder LSB (Least Significant Bit). Wenn die Zahl N das Abbild der Spannung U ist, weicht der digitalisierte Wert NּUq (mit 0 ≤ N ≤ 1023) vom richtigen Wert U ab um die Quantisierungsabweichung

F_q =N \cdot U_q -U\ .

Sie liegt im Bereich –1 Digit … 0, kann je nach Festlegung des Messanfangs auch bei 0 … +1 Digit liegen oder beliebig dazwischen, z. B. im Bereich –0,5 …  +0,5 Digit.

Bei Messgeräten mit Ziffernanzeige ist der Nullpunkt innerhalb der Breite einer Stufe der Kennlinie anhand der Null-Anzeige nicht justierbar (Nullpunktsabweichung). Diese wird mit der Quantisierungsabweichung häufig zusammengefasst, so dass bei der Ablesung eines Messwertes eine Messgeräteabweichung bis ± 1 Ziffernschritt selbst bei sonst fehlerfreiem Betrieb zu beachten ist.

Hinweis auf inkonsequente Darstellung

Auflösung eines Spannungsbereiches in 4 Binärwerte (Wertebereich 00 ... 11)
und Hinzufügung von 4 weiteren auf 8 Werte (Wertebereich 000 ... 111)
Beispiel 1

Der Spannungsbereich 0 ... 10 V wird dargestellt durch 2 Bit in linearer Zuordnung auf die möglichen 4 Werte:

a) In der Literatur anzutreffende Darstellung: Der kleinste Binärwert gehört zur kleinsten Spannung, der größte Binärwert zur größten Spannung.

00 ↔ 0 V; 01 ↔ 3,3 V; 10 ↔ 6,7 V; 11 ↔ 10 V

 U_q = \frac{10\,\mathrm V}{\displaystyle 2^n -1} = 3{,}3\,\mathrm V

Zu dieser Darstellung gehört in nebenstehendem Bild die Zeichnung oben links.

An diese 4 Binärwerte mögen weitere 4 Binärwerte angefügt werden mit entsprechend größerem Spannungsbereich und größeren Wertevorrat 000 ... 111.

Die Verfechter der vorstehenden Auffassung mögen bitte die Zeichnung weiterführen.

b) Oben verwendete Darstellung: Zu jeder Quantisierungsstufe gehört eine Schrittweite, auch zur letzten. Der Spannungsbereich geht vom linken Rand der ersten Stufe bis zum rechten Rand der letzten Stufe.

00 ↔ 0 ... 2,5 V; 01 ↔ 2,5 ... 5 V; 10 ↔ 5 ... 7,5 V; 11 ↔ 7,5 ... 10 V

 U_q = \frac{10\,\mathrm V}{\displaystyle 2^n} = 2{,}5\,\mathrm V

Zu dieser Darstellung gehört die Zeichnung unten links.

Die Anfügung der 4 Binärwerte ist möglich mit durchgehend gleich hohen Stufen und gleich breiten Schritten, die jetzt bis 20 V reichen, siehe Zeichnung unten rechts.

Beispiel 2

Dieses ist ein zwar nicht binäres, aber digitales Beispiel: Eine Bahnhofsuhr lässt ihren Minutenzeiger jede Minute um einen Schritt vorspringen mit den möglichen Werten 00 … 59. Für einem Umlauf von einer Stunde: Je nach Darstellung müssten dazu 59 oder 60 Schritte erforderlich sein.

Siehe auch


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