Quantenzahl

Quantenzahlen dienen in der Quantenmechanik der Beschreibung von Eigenschaften von Teilchen oder Systemen. Ein Satz von Quantenzahlen charakterisiert einen Eigenzustand eines quantenmechanischen Systems vollständig. Quantenzahlen treten auf, weil in solchen Systemen bestimmte physikalische Größen anders als in der klassischen Physik nur mit diskreten Werten beobachtet werden.

Nachstehend werden im Einzelnen die Quantenzahlen beschrieben, die zur Beschreibung des einfachsten Atoms, des Wasserstoffatoms, gebraucht werden. Quantenzahlen werden jedoch auch in der Kernphysik und Teilchenphysik verwendet.

Gebundenes Elektron im Wasserstoff-Atom

Die Eigenzustände des gebundenen Elektrons und seine Wellenfunktion im Wasserstoffatom werden durch vier Quantenzahlen beschrieben:

$| \psi\rangle =| n, l, m, s \rangle$

Hauptquantenzahl

Die Hauptquantenzahl n beschreibt im Schalenmodell die Schale, in der sich das Elektron am wahrscheinlichsten aufhält. Sie bezeichnet das grundlegende Energieniveau und kann beliebige natürliche Zahlenwerte größer als Null annehmen:

$n \in \{1,2,3,\ldots\}$

Dies entspricht immer höheren Anregungen, bei sehr großem n spricht man von Rydberg-Atomen. Das Energieniveau ergibt sich aus der Hauptquantenzahl mit:

$E_n = - \frac{m e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2 } \cdot \frac{1}{n^2} = -E_\mathrm{R} \frac{1}{n^2}$

mit der Rydberg-Energie $E_\mathrm{R} = 13{,}6\,\mathrm{eV}$.

Nebenquantenzahl

Die Nebenquantenzahl oder Drehimpulsquantenzahl l kennzeichnet die Form des Orbitals in einem Atom. Ihr Wert kann jede natürliche Zahl kleiner als n sein:

$l \in \{0,1,2,\ldots,n-1\}$

Der Name "Drehimpulsquantenzahl" verweist darauf, dass $l(l+1)\hbar^2$ der Eigenwert des Drehimpulsoperators L² ist.

Im laufenden Text wird der Wert von l oft durch bestimmte, historisch festgelegte Buchstaben gekennzeichnet: s für l =0 (z. B. "s-Zustand"), p für l =1 , d für l =2, f für l =3, g für l =4, und entsprechend alphabetisch weiter. Die gleiche Bezeichnungsweise wird auch für die Partialwellen bei Streuung, Kernreaktionen usw. verwendet.

Magnetische Quantenzahl des Drehimpulses

Die magnetische Quantenzahl des Drehimpulses wird mit m bezeichnet und beschreibt die räumliche Orientierung des Elektronen-Bahndrehimpulses. Sie kann betragsmäßig nicht größer als die Nebenquantenzahl l sein, aber auch negative Werte annehmen:

$m \in \{-l, -(l-1) \ldots (l-1), l\}$

Sie heißt Magnetquantenzahl, weil die zusätzliche potentielle Energie in einem Magnetfeld in z-Richtung (normaler Zeeman-Effekt) durch sie charakterisiert wird (bei m = 0 keine z-Komponente, d.h. keine zusätzliche Energie; bei m = l nur z-Komponente, d.h. maximale zusätzliche Energie).

Spinquantenzahl

→ Hauptartikel: Spin

Die Spinquantenzahl s des Elektrons beschreibt die Orientierung des Spins des Elektrons. Sie ist halbzahlig: $s = \frac{1}{2}$.

Für die Projektion des Spins in z-Richtung gibt es nur zwei Möglichkeiten: $s_z \in \left\{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right\}$

Weitere Quantenzahlen

Gesamtdrehimpulsquantenzahl

Die Gesamtdrehimpulsquantenzahl beschreibt den Gesamtdrehimpuls eines Elektrons, bei dem (anschaulich) der Spin mit dem Drehimpuls koppelt, und eine Unterscheidung der Drehimpulse nicht mehr möglich ist.

Für diese Quantenzahl J gilt z.B. bei LS-Kopplung: J = (L + S),(L + S − 1),..., | L − S |

Kernspinquantenzahl

Hauptartikel: Kernspin

Die Kernspinquantenzahl (auch Kernspin oder Richtungsquantenzahl genannt) beschreibt den Drehimpuls von Atomkernen. Sie setzt sich aus dem Spin der einzelnen Neutronen und Protonen zusammen und kann daher positive ganz- oder halbzahlige Werte annehmen.

Mehr-Elektronen-Systeme

Im Unterschied zum Wasserstoffatom bestehen die Hüllen anderer Atome aus mehreren Elektronen, die sich gegenseitig beeinflussen. Dennoch kann man ihren Zustand oft näherungsweise durch obige Quantenzahlen beschreiben; um solche Systeme aber von Ein-Elektron-Systemen zu unterscheiden, werden dann die Quantenzahlen mit großen Buchstaben geschrieben. Z.B. beschreibt S dann den Gesamt-Spin aller Elektronen.

Es ist aber zu beachten, dass Elektronen dem Pauli-Prinzip unterliegen, da sie Fermionen sind: Keine zwei Elektronen im selben System (Atom oder Molekül) können in allen Quantenzahlen übereinstimmen.

Siehe auch

• Elektronenkonfiguration
• Orbitale

Literatur

• Haken, Wolf: Atom- und Quantenphysik. 8. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2004, ISBN 3-540-02621-5
• Eidenberger, Mag. Ronald: "Basismodul Chemie", Seiten 55 und 56

Weblinks

• Quantenzahlen (auf S. 55f erklärt)