Quantengruppe

Als Quantengruppe bezeichnet man in der mathematischen Gruppentheorie eine bestimmte Gattung von Hopf-Algebren, nämlich Quantisierungen (d. h. nicht-triviale Deformationen) der einhüllenden Hopf-Algebren von halbeinfachen Lie-Algebren. Alternativ kann man Quantengruppen als Deformationen von der Algebra der regulären Funktionen auf algebraischen Gruppen betrachten.

Der Begriff wurde im Rahmen der International Congress of Mathematicians 1986 in Berkeley von dem ukrainischen Mathematiker Vladimir Gershonovich Drinfeld geprägt. Unabhängig von ihm wurden sie von Michio Jimbo um die gleiche Zeit gefunden.

Beispiel $U_q(\mathfrak{sl}(2))$

Die einfachste Quantengruppe ist $U_q(\mathfrak{sl}(2))$. Dies ist die Algebra, die von den Variablen K, K ^{− 1}, E und F erzeugt wird und in der die Relationen

KK ^{− 1} = K ^{− 1}K = 1,

KEK ^{− 1} = q²E,

KFK ^{− 1} = q ^{− 2}F,

$[E,F]=\frac{K-K^{-1}}{q-q^{-1}}$

gelten.

Die Hopfalgebra-Struktur ist gegeben durch

$\Delta(E) = 1\otimes E + E\otimes K$,

$\Delta(F) = K^{-1}\otimes F + F\otimes 1$,

$\Delta(K) = K \otimes K$,

$\Delta(K^{-1}) = K^{-1} \otimes K^{-1}$,

$\epsilon(E)=\epsilon(F)= 0$,

$\epsilon(K)=\epsilon(K^{-1}) = 1$,

S(E) = − EK ^{− 1},

S(F) = − KF,

S(K) = K ^{− 1},

S(K ^{− 1}) = K.

E und F sind folglich schiefprimitiv, und K und K ^{− 1} sind gruppenähnlich.

Universelle einhüllende Algebra $U(\mathfrak{sl}(2))$

$U_1(\mathfrak{sl}(2))$ ist in dieser Form nicht definiert, da man dabei durch 0 teilen müsste. Es ist jedoch möglich, die Definition mit Hilfe einer weiteren Variable L so zu formulieren, dass dies möglich ist.

KK ^{− 1} = K ^{− 1}K = 1,

KEK ^{− 1} = q²E,

KFK ^{− 1} = q ^{− 2}F,

[E,F] = L

(q − q ^{− 1})L = K − K ^{− 1}

[L,E] = q(EK + K ^{− 1}E)

[L,F] = − q ^{− 1}(FK + K ^{− 1}F)

In dieser Form ist $U_1(\mathfrak{sl}(2))$ wohldefiniert und hängt eng mit der universellen einhüllenden Algebra $U(\mathfrak{sl}(2))$ zusammen. Es gilt nämlich

$U_1(\mathfrak{sl}(2))/(K-1) \cong U(\mathfrak{sl}(2))$,

wobei E auf X, F auf Y und L auf H abgebildet wird.

Literatur

• Christian Kassel: Quantum Groups (Graduate Texts in Mathematics). Springer-Verlag 1998, ISBN 0-387-94370-6 (Englisch)