Pythagoreisches Komma

Pythagoreisches Komma
Diatonische Intervalle
Prime
Sekunde
Terz
Quarte
Quinte
Sexte
Septime
Oktave
None
Dezime
Undezime
Duodezime
Tredezime
Halbton/Ganzton
Besondere Intervalle
Mikrointervall
Komma
Diësis
Limma
Apotome
Ditonus
Tritonus
Wolfsquinte
Maßeinheiten
Cent
Millioktave
Oktave
Savart

Das Pythagoreische Komma ist in der Musik ein Intervall von etwa einem Achtelton, welches nicht als selbstständiger musikalischer Tonschritt gebraucht wird. Während in der heute gebräuchlicheren gleichstufigen Stimmung sieben Oktaven genau zwölf Quinten entsprechen, gibt es in der theoretisch wohlklingendsten, sogenannten reinen Stimmung einen Unterschied zwischen sieben Oktaven und zwölf Quinten. Dieser Unterschied wird in der gleichstufigen Stimmung auf die zwölf Quinten verteilt. Man erhält dabei eine Temperierung, bei der sich die Quinten (700 Cent) nur unwesentlich von den reinen Quinten (702 Cent) unterscheiden. Jedoch unterscheiden sich die Terzen - und das wird häufig übersehen - deutlich hörbar von den reinen Terzen. (Große Terz rein: 386 Cent, gleichstufig: 400 Cent. Kleine Terz rein: 316 Cent, gleichstufig 300 Cent).

Praktische Relevanz erhält das Komma beim Stimmen von Instrumenten mit festen Tonhöhen. Darunter fallen zum Beispiel Tasteninstrumente sowie Saiteninstrumente mit Bünden.

Inhaltsverzeichnis

Anschauliche Herleitung

Die Bedeutung des Pythagoreischen Kommas geht aus folgender Tabelle hervor, in der gemäß der Quintenspirale zwölf reine Quinten aufeinander gesetzt werden. Diese haben je ein Frequenzverhältnis von 3:2. Daneben sind sieben Oktaven aufeinander gesetzt. (Im Beispiel wird C als Grundton verwendet).

Ton Quinte Frequenzverhältnis entspricht
C 0 1 : 1 =  1
G 1 3 : 2 =  1,5
d 2 9 : 4 =  2,25
a 3 27 : 8 =  3,375
4 81 : 16 =  5,0625
5 243 : 32 =  7,59375
fis² 6 729 : 64 =  11,390625
cis³ 7 2187 : 128 =  17,0859375
gis³ 8 6561 : 256 =  25,62890625
dis⁴ 9 19683 : 512 =  38,443359375
ais⁴ 10 59049 : 1024 =  57,6650390625
eis⁵ 11 177147 : 2048 =  86,49755859375
his⁵ (≈ c⁶) 12 531441 : 4096 =  129,746337890625
Ton Oktave Frequenzverhältnis
C 0 1 : 1
c 1 2 : 1
2 4 : 1
3 8 : 1
4 16 : 1
c⁴ 5 32 : 1
c⁵ 6 64 : 1
c⁶ 7 128 : 1

Der Unterschied der beiden Töne (letzte in den Tabellen) ergibt ein Frequenz-Verhältnis von

\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{12}} {2^7} = \frac{3^{12}}{2^{19}}  \approx {1{,}01364}
\widehat{\approx}\ \text {23,46 Cent}.

Hinweis: Beim Vergleich von Intervallen verwendet man die Einheit Cent, wobei 1 Oktave = 1200 Cent ist.

Zweite Berechnung: 12 \text{ Quinten} - 7 \text{ Oktaven} = 12 \cdot 701,955 \text{ Cent} - 7 \cdot 1200 \text{ Cent} = 23,46 \text{ Cent}.

Das Intervall mit diesem Verhältnis wird Pythagoreisches Komma genannt.

Das Pythagoreische Komma als Problem beim Stimmen von Tasteninstrumenten

Ein Instrument (wie die modernen Tasteninstrumente), das pro Oktave nur zwölf verschiedene Töne erzeugen kann, lässt sich nicht so stimmen, dass es in allen Tonarten mit absolut reinen Intervallen gespielt werden kann. Einerseits gibt es verschieden große Ganztöne, die sich um ein syntonisches Komma unterscheiden, andererseits unterscheiden sich zwölf Quinten von sieben Oktaven um das pythagoreische Komma. In der Praxis wird versucht, beim Stimmen von Tasteninstrumenten das syntonische und das pythagoreische Komma möglichst sinnvoll auf alle Töne zu verteilen. Nach verschiedenen Theorien ergeben sich dann die verschiedenen musikalischen Stimmungen. Es gab auch Versuche mit Tasteninstrumenten, deren Oktave mehr als zwölf Töne umfasst (z. B. geteilte schwarze Tasten).

Zwölf reine Quinten (2:3) ergeben 8423,46 Cent, sieben Oktaven dagegen nur 8400 Cent. Damit sich in gleichstufig-temperierter Stimmung die Quintenspirale nach sieben Oktaven zum Quintenzirkel schließt, muss das Pythagoreische Komma beim Stimmen auf die zwölf Quinten verteilt werden. Damit wird die reine Quinte von 701,9550 Cent nur geringfügig um 1,9550 Cent auf 700 Cent verkleinert.

In der Gregorianik und der Musik bis ins Spätmittelalter wurde die pythagoreische Stimmung verwendet. Die in der pythagoreischen Stimmung ergebende pythagoräische Terz spielte bei ein- oder zweistimmiger (Quinten, Quarten) Musik keine Rolle. Mit dem Aufkommen der in der Mehrstimmigkeit sich bildenden Akkordverbindungen wurde bald die reine Terz mit dem Frequenzverhältnis 5/4 als Konsonanz anerkannt. Damit wurde die pythagoreische Stimmung unbrauchbar. Lange Zeit verwendete man mitteltönige Stimmungen, die die reine Stimmung am besten wiedergaben, jedoch viele Tonarten ausschlossen. Zu J.S. Bachs Zeit wuchs das Bedürfnis, in allen Tonarten spielen zu können. Über unzählige Versuche mit wohltemperierten Stimmungen hat sich heutzutage fast durchgängig die gleichstufige Stimmung bei Tasteninstrumenten durchgesetzt. Und hier schließt sich der Kreis: Man verwendet wieder die - um das pythagoreische Komma korrigierte - pythagoreische Stimmung. Die um nur 2 Cent verstimmten Quinten hört man durch ihre Schwebungen etwas "gefärbt", die immerhin um 14 Cent erhöhte große Terz wird als "geschärft" notgedrungen in Kauf genommen.

Reine Quinte: 1200 \cdot \log_2 \left({3\over 2}\right)\;\mathrm{Cent} \approx 701{,}9550\;\mathrm{Cent} , Gleichstufige Quinte: 700 Cent.

Reine große Terz: 1200 \cdot \log_2 \left({5\over 4}\right)\;\mathrm{Cent} \approx 386{,}3137\;\mathrm{Cent} , Gleichstufige große Terz: 400Cent.

Geschichte

Als erster definierte der Pythagoreer Philolaos das pythagoreische Komma.

Die erste Nennung der Komma-Proportion 531441:524288 findet sich bei Euklid. Dieser legt den Ganzton der pythagoreischen Stimmung mit dem Verhältnis 9:8, die Oktave mit dem Verhältnis 2:1, und eine Zahl A = 262144 = 218 zugrunde. Er kommt zu dem Schluss, dass die Bildung von sechs Ganztonverhältnissen über dieser Zahl einen größeren Wert G ergibt als die einer Oktave (zwei mal A) über dieser Zahl. G gibt er mit 531441 an.[1] Die nötigen Berechnungen lauten:

Berechnung von G:

262144 \cdot \left(\frac 9 8\right)^6 = 2^{18} \cdot \left(\frac {9} {2^3}\right)^6 = 9^6 = 531441

Berechnung des Doppelten von A:

262144 \cdot \left(\frac 2 1\right) = 524288

Weblinks

das pythagoreische und syntonische Komma von Joachim Mohr

Einzelnachweise

  1. Euklid: Katatome kanonos (lat. Sectio canonis). Engl. Übers. in: Andrew Barker (Hg.): Greek Musical Writings. Vol. 2: Harmonic and Acoustic Theory, Cambridge Mass.: Cambridge University Press, 2004, S. 190–208, hier: S. 199.

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Komma (Musik) — Diatonische Intervalle Prime Sekunde Terz Quarte Quinte Sexte Septime Oktave None Dezime Undezime Duodezime Tredezime Halbton/Ganzton Besondere Intervalle …   Deutsch Wikipedia

  • Pythagoräisches Komma — Musikalische Intervalle Prime Sekunde Terz Quarte Quinte Sexte Septime Oktave None Dezime Undezime Duodezime Tredezime Spezielle Intervalle …   Deutsch Wikipedia

  • Tonstruktur (mathematische Beschreibung) — Eine Tonstruktur beschreibt ein Tonsystem mit Hilfe von Tönen und Intervallen[1] Seit der Antike wird der Tonvorrat einer Musikkultur zum einen über die Angabe von Tonhöhen und zum andern über den Begriff des Intervalls wiedergegeben; im Lichte… …   Deutsch Wikipedia

  • Werckmeisterische Temperatur — Andreas Werckmeister veröffentlichte 1681 und 1691 die ersten Beschreibungen verschiedener Wohltemperierter Stimmungen. Diese ersetzten nach und nach die damals vorherrschende Mitteltönige Stimmung und ermöglichten den Musikern damit das Spiel in …   Deutsch Wikipedia

  • Werckmeister-Stimmung — Andreas Werckmeister veröffentlichte 1681 und 1691 die ersten Beschreibungen verschiedener Wohltemperierter Stimmungen. Diese ersetzten nach und nach die damals vorherrschende Mitteltönige Stimmung und ermöglichten den Musikern damit das Spiel in …   Deutsch Wikipedia

  • Wolfsquinte — Diatonische Intervalle Prime Sekunde Terz Quarte Quinte Sexte Septime Oktave None Dezime Undezime Duodezime Tredezime Halbton/Ganzton Besondere Intervalle …   Deutsch Wikipedia

  • Stimmen — Der Ausdruck Stimmung oder gestimmt wird in der Musik in mehreren verschiedenen Bedeutungen benutzt, wie in folgenden Beispielsätzen: „Die Stimmung des Instruments ist 442 Hertz.“ – Hier ist die absolute Tonhöhe des Stimmtons gemeint. „Das… …   Deutsch Wikipedia

  • Stimmungssystem — Der Ausdruck Stimmung oder gestimmt wird in der Musik in mehreren verschiedenen Bedeutungen benutzt, wie in folgenden Beispielsätzen: „Die Stimmung des Instruments ist 442 Hertz.“ – Hier ist die absolute Tonhöhe des Stimmtons gemeint. „Das… …   Deutsch Wikipedia

  • Temperierte Stimmung (Musik) — Der Ausdruck Stimmung oder gestimmt wird in der Musik in mehreren verschiedenen Bedeutungen benutzt, wie in folgenden Beispielsätzen: „Die Stimmung des Instruments ist 442 Hertz.“ – Hier ist die absolute Tonhöhe des Stimmtons gemeint. „Das… …   Deutsch Wikipedia

  • Chromatischer Halbton — Musikalische Intervalle Prime Sekunde Terz Quarte Quinte Sexte Septime Oktave None Dezime Undezime Duodezime Tredezime Spezielle Intervalle …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”