Projektiver Raum

Der projektive Raum ist in der Mathematik ein grundlegender Begriff sowohl der Differentialgeometrie als auch der algebraischen Geometrie. Geometrisch kann man den projektiven Raum als Erweiterung des affinen Raumes auffassen. Bei dieser Erweiterung fügt man zu den Punkten des Raumes für jede Schar paralleler Geraden im affinen Raum jeweils ihre Richtung als neuen Punkt (Fernpunkt) hinzu. Damit entfallen in Sätzen und Beweisen viele Fallunterscheidungen, die in der affinen Formulierung aufgrund der Parallelität nötig sind. In der Koordinatendarstellung geschieht diese Erweiterung, indem im affinen Raum homogene Koordinaten eingeführt werden und die Einschränkung, dass die dabei zusätzlich eingeführte Koordinate nicht 0 sein darf, fallengelassen wird. So gelangt man zu einem projektiven Koordinatensystem des projektiven Raumes.

Für projektive Räume gilt ein Dualitätsprinzip.

Definition

Auf $\R^{n+1}\setminus\{0\}$ sei die Äquivalenzrelation

$x \sim y \Leftrightarrow \exists \lambda \in \R\setminus\{0\}: x = \lambda y$

definiert. In Worten heißt dies, x ist äquivalent zu y genau dann, wenn es ein $\lambda \in \R\setminus\{0\}$ gibt, so dass x = λy gilt. Alle Punkte auf einer Geraden durch den Ursprung, der Ursprung ist nicht enthalten, werden also miteinander identifiziert und nicht mehr unterschieden. Der Quotientenraum $\left(\R^{n+1}\setminus\{0\}\right)/\sim$ wird reeller, n-dimensionaler projektiver Raum genannt und mit $\R P^{n}$ notiert.

Im Fall n=1 spricht man von der projektiven Gerade (auch: projektive Linie) und im Fall n=2 von einer projektiven Ebene. Wählt man statt $\R^{n+1}$ den komplexen Vektorraum $\C^{n+1}$ so erhält man mit der analogen Definition mit $\lambda \in \C\setminus\{0\}$ den komplex projektiven Raum der (komplexen) Dimenson n. Die Koordinaten des Projektiven Raums, welche ja Äquivalenzklassen sind, werden durch $[x_0 : \ldots : x_n] \in \R P^n$ notiert und heißen homogene Koordinaten.

Allgemeiner können auch projektive Räume über beliebigen anderen Körpern (an Stelle von $\R$ bzw. $\C$) konstruiert werden.

Ein allgemeinerer Begriff des projektiven Raumes wird in der synthetischen Geometrie verwendet, vor allem für den Fall n = 2 die projektive Ebene. Die Axiomatik dieses allgemeineren Begriffes wird im Hauptartikel Projektive Geometrie dargestellt.

Beispiel: Riemann'sche Zahlenkugel

Stereographische Rückprojektionen der komplexen Zahlen A und B auf die Punkte α und β der Riemann'schen Zahlenkugel

Die komplex-projektive Gerade ist nach obiger Definition gerade die Menge der komplexen Geraden in $\mathbb C^2$, welche durch den Ursprung $(0, 0) \in \mathbb C^2$ gehen.

Die komplex-projektive Gerade kann man auch als die reell-zweidimensionale Sphäre beziehungsweise Riemann'sche Zahlenkugel

$S^2=\{(x, y, z) \in \mathbb R^3, x^2+y^2+z^2=1 \}$

auffassen. Die Übereinstimmung mit obigen Begriffen ergibt sich wie folgt: Bezeichne mit $N := (0, 0, 1) \in S^2$ den "Nordpol". Betrachte die stereographische Projektion

$f : S^2 \setminus \{ N \} \rightarrow \mathbb R^2 \cong \mathbb C,$

welche durch $\textstyle (x, y, z) \mapsto \left(\frac{x}{1-z}, \frac{y}{1-z} \right)$ gegeben ist. Anschaulich legt man durch (x,y,z) und den Nordpol eine (reelle) Gerade und wählt den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebene als Bildpunkt der Abbildung. Die Korrespondenz zwischen S² und $\mathbb C P^1$ ist nun durch $(x, y, z) \neq (0, 0, 1) \mapsto f\big((x, y, z)\big) \in \mathbb C$, $(0, 0, 1) \mapsto \infty$ gegeben.

Eigenschaften

• Die reellen und komplexen projektiven Räume sind kompakte Mannigfaltigkeiten. Die oben erwähnten Abbildungen sind Abbildungen von Mannigfaltigkeiten.
• Der projektive Raum ist ein Beispiel für eine nicht affine algebraische Varietät bzw. ein nicht affines Schema. Im algebraisch-geometrischen Kontext kann man anstelle der reellen oder komplexen Zahlen jeden beliebigen Körper oder Ring einsetzen.
• Untermannigfaltigkeiten bzw. -varietäten des projektiven Raums werden als projektive Mannigfaltigkeiten bzw. projektive Varietäten bezeichnet.

Projektive Teilräume und abgeleitete Räume

In diesem Abschnitt wird im Sinne der obigen allgemeineren Definition von einem n − dimensionalen projektiven Raum KPⁿ über einem beliebigen Körper K ausgegangen, die Punkte des Raumes können also als eindimensionale Unterräume von K^{n + 1} angesehen werden.

• Jedem k + 1-dimensionalen Unterraum $(-1\leq k\leq n)$ von K^{n + 1} ist ein k-dimensionaler projektiver Teilraum S^k von KPⁿ zugeordnet. Man nennt S^k auch eine (verallgemeinerte, projektive) Ebene, für k = n − 1 Hyperebene, für k = 1 Gerade in KPⁿ. Auch die leere Menge wird hier als projektiver Teilraum betrachtet, dem der Nullraum von K^{n + 1} und als Dimension − 1 zugeordnet wird.
• Die Schnittmenge von zwei projektiven Teilräumen ist wiederum ein projektiver Teilraum.
• Bildet man zu den Unterräumen, die zwei projektiven Räumen S₁ und S₂ zugeordnet sind, die lineare Hülle ihrer Vereinigungsmenge in K^{n + 1}, so gehört zu diesem Untervektorraum wieder ein projektiver Teilraum, der Verbindungsraum $S_1\vee S_2$ (auch als Summe S₁ + S₂ notiert) von S₁ und S₂.
• Für Schnitt und Verbindung von projektiven Teilräumen gilt die projektive Dimensionsformel:

$\operatorname{dim}(S_1)+\operatorname{dim}(S_2)=\operatorname{dim}(S_1\vee S_2)+\operatorname{dim}(S_1\cap S_2)$.

• Die Menge $\mathcal{P}^n$ aller Teilräume des projektiven Raumes KPⁿ bildet bezüglich der Verknüpfungen "Schnitt" $\cap$ und "Verbindung" $\vee$ einen längenendlichen, modularen, komplementären Verband.
• Jedem projektiven Punkt kann über seine Koordinaten eine homogene Koordinatengleichung zugeordnet werden, deren Lösungsmenge eine Hyperebene beschreibt. Durch die so definierten Hyperebenenkoordinaten bilden die Hyperebenen in KPⁿ wiederum Punkte eines projektiven Raumes, des Dualraums (KPⁿ)^D.(→ siehe dazu Projektives Koordinatensystem#Koordinatengleichungen und Hyperebenenkoordinaten).
• Allgemeiner bildet die Menge der Hyperebenen, die einen festen k-dimensionalen Teilraum S enthalten, einen projektiven Raum, den man als Bündel, im Spezialfall k = n − 2 als Büschel von Hyperebenen bezeichnet. S heißt Träger des Bündels oder Büschels.

Literatur

• Albrecht Beutelspacher, Ute Rosenbaum: Projective geometry: from foundations to applications, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-48277-6
• Hermann Schaal: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Band II, Vieweg 1980, ISBN 3-528-13057-1