Pol-Nullstellen-Diagramm

Das Pol-Nullstellen-Diagramm, kurz PN-Diagramm, ist eine Diagrammform, die in der Elektrotechnik, Nachrichtentechnik und dabei besonders in deren Untergebieten Filter- und Regelungstechnik verwendet wird. Aus einem Pol-Nullstellen-Diagramm kann unter anderem auf den Betrags- und Phasenverlauf des Frequenzgangs eines Systems, sowie auf dessen Impuls- und Sprungantwort geschlossen werden. Damit bildet es eine wertvolle Grundlage für Analyse, Synthese und Stabilitätsbetrachtungen von Schaltungen, Filtern, und anderen Übertragungssystemen.

Die Erstellung und Anwendung eines Pol-Nullstellen-Diagramms setzt entsprechende Kenntnisse der Mathematik und der Systemtheorie der Nachrichtentechnik voraus. Vereinfacht ausgedrückt werden im Pol-Nullstellen-Diagramm die Pol- und Nullstellen der Übertragungsfunktion eines Systems eingetragen. Bei der Übertragungsfunktion handelt es sich um die Laplace-Transformierte der Impulsantwort, oder der z-Transformation eines Systems. Die Darstellung erfolgt in einer komplexen Zahlenebene. Üblicherweise werden Einfachpole durch ein Kreuz, Mehrfachpole durch ein Doppelkreuz und Nullstellen durch einen kleinen Kreis markiert.

Bedeutung der Pol- und Nullstellenlagen

Aus der Lage der Pole kann man unter anderem erkennen, ob ein System kausal und stabil ist. Pole bestimmen das Zeitverhalten des Systems. Das System ist stabil, wenn alle Pole der Übertragungsfunktion in der offenen linken Halbebene (LHE) des Diagramms liegen. Realisierbare (kausale) Systeme besitzen mindestens so viele Pole wie Nullstellen. Aus dem Abstand aller Pole- und Nullstellen zu einer Frequenz im Diagramm kann man die Frequenzübertragungseigenschaften abschätzen. Einschwingvorgänge werden durch zwei konjugiert-komplexe Pole aufgezeigt. Schwingungsverhalten durch Doppelpole. Komplexe Pole in der offenen linken Halbebene deuten auf abklingende Schwingungen. All diese anschaulichen Diagramminterpretationen und viele weitere Interpretationen dieser Art lassen sich mit der Systemtheorie der Nachrichtentechnik gewinnen.

Bewegt man sich auf der Frequenzachse von $-\infty$ nach $+\infty$, so dreht jeder Pol in der LHE, sowie jede Nullstelle in der rechten Halbebene (RHE) die Phase um − π. Jede Nullstelle in der LHE bewirkt eine Phasendrehung um + π.

Beispiel

Hochpass 2. Ordnung

Systemfunktion	PN-Schema	Bode-Diagramm
$H(s) = \frac{\left(\frac{s}{\Omega_z}\right)^2}{1 + \frac{s}{\Omega_p Q_p} + \left(\frac{s}{\Omega_p}\right)^2}$ Ωz = Ωp

Wie zu sehen ist, besitzt ein Hochpass 2. Ordnung ein konjugiert komplexes Polstellenpaar und eine doppelte Nullstelle im Koordinatenursprung. Das System ist somit stabil.

Minimalphasige Systeme haben keine Nullstellen in der RHE.