Pentagonalzahlensatz

Der Pentagonalzahlensatz von Leonhard Euler ist ein Resultat aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie.

Der Satz lautet: Für komplexe Zahlen q mit | q | < 1 gilt

$\prod_{n=1}^\infty (1-q^n) \;= \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{n(3n-1)/2}$

Die Exponenten $\tfrac{n(3n-1)}2$ sind für $n\geq1$ gerade die Pentagonalzahlen. Explizit lautet die Formel

$(1-q)(1-q^2)(1-q^3)\cdots \,= 1-q-q^2+q^5+q^7-q^{12}\cdots$

Insbesondere tauchen auf der rechten Seite ausschließlich die Koeffizienten +1, −1 und 0 auf (Folge A010815 in OEIS).

Die Bedeutung des Pentagonalzahlensatzes für die Funktionentheorie liegt darin, dass die linke Seite bis auf den Faktor q^{1 / 24} die q-Entwicklung der Dedekind'schen η-Funktion ist.

Die Aussage des Pentagonalzahlensatzes erlaubt auch eine kombinatorische Interpretation: Es bezeichne A_n die Anzahl der Partitionen von n in eine gerade Anzahl von Summanden und B_n die Anzahl der Partitionen in eine ungerade Anzahl von Summanden. Dann ist A_n − B_n der n-te Koeffizient der obigen Reihe.

Die diskrete Faltung der Koeffizienten mit der Folge der Partitionszahlen ergibt Eins.

Weblinks

• Englische Version von Eulers Beweis in arxiv
• Eric W. Weisstein: Pentagonal Number Theorem. In: MathWorld. (englisch)