Parallelogramm

Bezeichnungen am Parallelogramm

Ein Parallelogramm oder Rhomboid (rautenähnlich) ist ein konvexes ebenes Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel sind.

Parallelogramme sind spezielle Trapeze und zweidimensionale Parallelepipede. Rechteck, Raute (Rhombus) und Quadrat sind Spezialfälle des Parallelogramms.

Eigenschaften

Ein nicht ausgeartetes Viereck ist ein Parallelogramm genau dann, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

• Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und keine zwei gegenüberliegende Seiten schneiden sich (kein überschlagenes Viereck, sogenanntes Antiparallelogramm).
• Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
• Je zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°.
• Die Diagonalen halbieren einander.
• Es ist punktsymmetrisch (zweizählig drehsymmetrisch).

Für jedes Parallelogramm gilt:

• Jede Diagonale teilt es in zwei (gleich orientierte) kongruente Dreiecke.
• Das Zentrum der Symmetrie ist der Schnittpunkt der Diagonalen.

Im Parallelogramm gilt das Parallelogrammgesetz:

$e^2+f^2 = 2\left(a^2+b^2\right)$.

Formelsammlung

Formeln zum Parallelogramm
Flächeninhalt	$A \, = \, a \cdot h_a = b \cdot h_b = \, \left| \left|\,\overrightarrow{AB} \, \times \, \overrightarrow{AD}\,\right| \right|$ $A \, = \, a \cdot b \cdot \sin\alpha = a \cdot b \cdot \sin\beta = \frac {e \cdot f \cdot \sin \theta}{2}$
Höhe zu a	$h_a \, = \, b \cdot \sin\alpha = b \cdot \sin\beta$
Höhe zu b	$h_b \, = \, a \cdot \sin\alpha = a \cdot \sin\beta$
Diagonalen (Kosinussatz)	$f = \sqrt{ a^2+b^2-2 \cdot a \cdot b \cdot \cos (\alpha) }$ $e = \sqrt{ a^2+b^2+2 \cdot a \cdot b \cdot \cos (\alpha) }$
Winkel	$\alpha = \gamma \;\;\;\;\; \beta = \delta \;\;\;\;\; \beta = 180^\circ - \alpha$
Seitenlängen	$a,\,b$
Größen der Innenwinkel	$\alpha,\,\beta$

Verallgemeinerungen

Die eine Verallgemeinerung auf n Dimensionen ist das Parallelotop P erklärt als die Menge $\{\alpha_1 p_1+\alpha_2 p_2 \dots \alpha_n p_n\mid 0\le\alpha_i\le 1\}$, sowie deren Parallelverschiebungen. Dabei sind die p_i linear unabhängige Vektoren.

Weblinks

 Wiktionary: Parallelogramm – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen