Nullabbildung

Nullabbildung

In der Mathematik ist eine konstante Funktion eine Funktion, die für alle Argumente stets denselben, also konstanten Funktionswert annimmt.

Definition und Charakterisierung

Sei f:A \to B eine Funktion zwischen zwei nichtleeren Mengen. Dann ist f konstant, wenn für alle x,y \in A gilt: f(x) = f(y).

Äquivalent zu dieser Definition ist die Aussage, dass die Bildmenge von f aus genau einem Element besteht.

Insbesondere in der Kategorientheorie werden konstante Funktionen mittels Hintereinanderausführung charakterisiert:

f:A \to B ist genau dann konstant, wenn für alle Funktionen g,h:C \to A gilt: f \circ g = f \circ h.

Auf diese Weise werden konstante Morphismen sauber definiert. Gebräuchlich ist weiterhin: Ist für jede Funktion g: C \to A die Verknüpfung f \circ g konstant, dann ist auch f konstant.

Eigenschaften, bekannte Funktionen

Konstante Funktion

Im Fall einer konstanten Funktion von den reellen Zahlen in die reellen Zahlen ist ihr Graph eine zur x-Achse parallele („waagerechte“) Gerade.

  • Ist der Wert der Funktion die Zahl Null, so handelt es sich um den Spezialfall der Nullfunktion. Sowohl in der reellen als auch der komplexen Differentialrechnung ist die Ableitung einer konstanten Funktion die Nullfunktion. Definiert man eine Vektorraum-Struktur auf einer Menge von Funktionen, so entspricht die Nullfunktion stets dem Nullvektor.
  • Ist der Funktionswert Eins, spricht man häufig von der Einsfunktion. Sie ist die Ableitung der Identität.
Der Begriff „Einsfunktion“ wird jedoch noch ein einem anderen Kontext verwendet. Mittels Hintereinanderausführung kann eine Gruppenstruktur auf einer Menge von Funktionen definiert werden. Das neutrale Element dieser Gruppe wird auch oft mit „Einsfunktion“ bezeichnet, ist aber keine konstante Funktion, sondern die identische Abbildung.

Die Konstanz einer Funktion ist nicht immer augenfällig: Betrachtet man eine beliebig vorgegebene Funktion, so kann sie konstant sein, obwohl ihr Funktionsterm scheinbar vom Argument abhängt. Ein Beispiel ist die Funktion f:\Z/2\Z \to \Z/2\Z, also auf dem Restklassenring modulo 2, mittels f(x) = x2x. Diese Funktion ist konstant 0 (da 02 − 0 = 0 und 12 − 1 = 0).

Weitere Zusammenhänge, Verallgemeinerungen


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Modulhomomorphismus — In der Mathematik ist ein Modulhomomorphismus eine Abbildung zwischen zwei Moduln M und N über einem Ring R, welche mit der Modulstruktur verträglich ist. Sie übersetzt beispielsweise die Addition von M in die Addition von N. Eine Addition kann… …   Deutsch Wikipedia

  • Differenzierbarkeit — Graph einer differenzierbaren Funktion Als Differenzierbarkeit bezeichnet man in der Mathematik die Eigenschaft einer Funktion, sich lokal um einen Punkt in eindeutiger Weise linear approximieren zu lassen. Der Begriff Differenzierbarkeit ist… …   Deutsch Wikipedia

  • Homotopie (homologische Algebra) — Im mathematischen Teilgebiet der homologischen Algebra ist eine Homotopie eine Abstraktion des topologischen Begriffes einer Homotopie. Definition Es seien X und Y Kokettenkomplexe und zwei Kettenabbildungen, d.h. Systeme von Abbildungen , die… …   Deutsch Wikipedia

  • Nilpotente Matrizen — Die nilpotente Matrix und der nilpotente Endomorphismus sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Dabei bezeichnet man eine quadratische Matrix als nilpotent, wenn eine ihrer Potenzen die Nullmatrix ergibt: An = 0 für… …   Deutsch Wikipedia

  • Nilpotenzgrad — Die nilpotente Matrix und der nilpotente Endomorphismus sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Dabei bezeichnet man eine quadratische Matrix als nilpotent, wenn eine ihrer Potenzen die Nullmatrix ergibt: An = 0 für… …   Deutsch Wikipedia

  • Nilpotenzindex — Die nilpotente Matrix und der nilpotente Endomorphismus sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Dabei bezeichnet man eine quadratische Matrix als nilpotent, wenn eine ihrer Potenzen die Nullmatrix ergibt: An = 0 für… …   Deutsch Wikipedia

  • Ringhomomorphismus — In der Ringtheorie betrachtet man spezielle Abbildungen zwischen Ringen, die man Ringhomomorphismen nennt. Ein Ringhomomorphismus ist eine strukturerhaltende Abbildung zwischen Gruppen, und damit ein spezieller Homomorphismus. Inhaltsverzeichnis… …   Deutsch Wikipedia

  • Frobenius-Normalform — Die Frobenius Normalform (nach Ferdinand Georg Frobenius) oder rationale Normalform einer quadratischen Matrix A mit Einträgen in einem beliebigen Körper K ist eine transformierte Matrix T − 1AT (mit invertierbarer Matrix T), die eine spezielle… …   Deutsch Wikipedia

  • Frobeniusnormalform — Die Frobenius Normalform (nach Ferdinand Georg Frobenius) einer quadratischen Matrix A mit Einträgen in einem beliebigen Körper K ist eine transformierte Matrix T − 1AT (mit invertierbarer Matrix T), die eine spezielle übersichtliche Form hat.… …   Deutsch Wikipedia

  • Fünferlemma — Das Fünferlemma ist ein in der Mathematik, hauptsächlich in der homologischen Algebra und anderen Anwendungen abelscher Kategorien, häufig verwendetes und wichtiges Lemma über kommutative Diagramme. Das Fünferlemma ist nicht nur für abelsche… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”