Arrow-Pratt-Maß

Das nach Kenneth Arrow und John Pratt benannte Arrow-Pratt-Maß ist ein Maß für die Risikoaversion eines Entscheiders, wobei zwischen dem Arrow-Pratt-Maß der absoluten Risikoaversion ARA(x) und dem der relativen Risikoaversion RRA(x) zu unterscheiden ist.

Das Arrow-Pratt-Maß der absoluten Risikoaversion

Ist u(x) eine zweimal differenzierbare, monoton steigende Nutzenfunktion, ist das Arrow-Pratt-Maß der absoluten Risikoaversion ARA(x) für diese Nutzenfunktion wie folgt definiert:

$ARA(x) = -\frac{u''(x)}{u'(x)}$.

Dabei implizieren negative Werte Risikofreude (Risikoaffinität) und positive Werte Risikoscheu (Risikoaversion). Nimmt das Maß schließlich den Wert Null an, ist der Entscheider risikoneutral.

Ein Entscheider i ist risikoaverser als ein anderer Entscheider j, wenn anhand ihrer Nutzenfunktionen u_i(x) und u_j(x) für ihre Arrow-Pratt-Maße gilt:

$\forall x: ARA_i(x) \ge ARA_j(x)$.

Die Ableitung des Maßes der absoluten Risikoaversion ARA'(x)

$ARA'(x) = (-\frac{u''(x)}{u'(x)})' = -\frac{u'(x)\cdot u'''(x)-(u''(x))^2}{(u'(x))^2} = ARA^2(x) - \frac{u'''(x)}{u'(x)}$

gibt die Veränderung der Risikoeinstellung bei erhöhtem Einkommen an. Werden beispielsweise alle möglichen Einkommen, die aus der Entscheidungssituation resultieren können, um einen konstanten Wert erhöht, so erlaubt ein positiver Wert der Ableitung von ARA die Aussage, dass der Entscheider seine Risikoscheu oder Risikofreude, je nach Wert von ARA, verstärken wird, ein negativer Wert, dass er weniger risikofreudig oder -scheu handeln wird, und ein Wert von Null, dass die Erhöhung aller möglichen Einkommen sein Entscheidungsverhalten nicht beeinflusst.

Nutzenfunktionen mit konstantem absolutem Risikoaversionsmaß ARA(x) = k und deren Umkehrfunktionen sind beispielsweise die Funktionen

$u(w) = \frac{e^{-kw}-1}{e^{-k}-1} \quad \text{und} \quad w(u)=\frac{\ln(u(e^{-k}-1)+1)}{-k}.$

Das Arrow-Pratt-Maß der relativen Risikoaversion

Das Arrow-Pratt-Maß der relativen Risikoaversion errechnet sich wie folgt:

$\begin{align}RRA(x) = ARA(x) \cdot x= - \frac{u''(x)}{u'(x)} \cdot x = - \frac {\mathrm{d} u'(x)}{\mathrm{d} x} \cdot \frac {x}{u'(x)} = \eta_{u'(x),x}\end{align}$

Es entspricht also der Nutzenelastizität des möglichen Einkommens, welche eine Änderung der Risikobereitschaft bei veränderten möglichen Einkommen aus der Entscheidung ausdrückt. Ist das Maß der relativen Risikoaversion konstant, so wird der Entscheider bei einer gleichmäßigen, linearen Transformation aller möglichen Einkommen seine Entscheidung nicht ändern. Eine lineare relative Risikoaversion bedeutet eine abnehmende bzw. zunehmende Risikoaversion bei Erhöhung der möglichen Gewinne, je nachdem ob das Maß der RRA negativ bzw. positiv ist - die Ableitung der RRA gibt hierüber Aufschluss.

Nutzenfunktionen mit konstantem relativem Risikoaversionsmaß RRA(x) = 1/2 und deren Umkehrfunktionen sind beispielsweise die Funktionen

$u(w) = k \cdot \sqrt{w} \quad \text{und} \quad w(u) = \frac{u^2}{k^2}.$

Weitere Eigenschaften

Die Arrow-Pratt-Maße sind invariant gegenüber einer positiv linearen Transformation der Nutzenfunktion und eignet sich damit für die Neumann/Morgenstern-Theorie.

Literatur

• Arrow, Kenneth J.: Essays in the Theory of Risk-Bearing. Amsterdam 1970, ISBN 072043047X